题目描述

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给你一个整数数组 nums 。玩家 1 和玩家 2 基于这个数组设计了一个游戏。

玩家 1 和玩家 2 轮流进行自己的回合，玩家 1 先手。开始时，两个玩家的初始分值都是 0 。每一回合，玩家从数组的任意一端取一个数字（即，nums[0] 或 nums[nums.length - 1]），取到的数字将会从数组中移除（数组长度减 1 ）。玩家选中的数字将会加到他的得分上。当数组中没有剩余数字可取时，游戏结束。

如果玩家 1 能成为赢家，返回 true 。如果两个玩家得分相等，同样认为玩家 1 是游戏的赢家，也返回 true 。你可以假设每个玩家的玩法都会使他的分数最大化。

 

示例 1：

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输入：nums = [1,5,2]
输出：false
解释：一开始，玩家 1 可以从 1 和 2 中进行选择。
如果他选择 2（或者 1 ），那么玩家 2 可以从 1（或者 2 ）和 5 中进行选择。如果玩家 2 选择了 5 ，那么玩家 1 则只剩下 1（或者 2 ）可选。 
所以，玩家 1 的最终分数为 1 + 2 = 3，而玩家 2 为 5 。
因此，玩家 1 永远不会成为赢家，返回 false 。

示例 2：

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输入：nums = [1,5,233,7]
输出：true
解释：玩家 1 一开始选择 1 。然后玩家 2 必须从 5 和 7 中进行选择。无论玩家 2 选择了哪个，玩家 1 都可以选择 233 。
最终，玩家 1（234 分）比玩家 2（12 分）获得更多的分数，所以返回 true，表示玩家 1 可以成为赢家。

算法1

(DP) $O(n^2)$

从题目描述中能够看出来，每个玩家选择的一种解法都是一系列状态的总和

因此，很容易想到使用动态规划来考虑一系列状态的结果

可以使用f[i][j]来表示区间i~j内玩家1能够获得的分值

对于区间 i ~ j来说，如果先手玩家选择了i,那么后手玩家可以获得的分值就变为f[i + 1][j], 反之其分值则变为f[i][j - 1]

那么对于先手玩家来说，其获胜的条件是分值需要大于后手玩家，如果他选择了 位置 i 的分数，那么他与后手玩家的分差将变为： a[i] - f[i + 1][j], 选择了位置 j 的分数，则分差将变更为 a[j] - f[i][j - 1]

两者取最大值，即可得到最终分差

使用这个策略遍历所有的区间之后，f[0][n - 1]就表示第一个先手的玩家其分差最大值，如果大于等于 0，按照规则判胜

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class Solution {
public:
    bool PredictTheWinner(vector<int>& nums) {
        int n = nums.size();
        vector<vector<int>> f(n, vector<int> (n));

        for(int len = 1; len <= n; len ++)
        {
            for(int i = 0; i + len - 1 < n; i ++)
            {
                int j = i + len - 1;
                if( len == 1) f[i][j] = nums[i];
                else
                    f[i][j] = max(nums[i] - f[i + 1][j], nums[j] - f[i][j - 1]);
            }
        }

        return f[0][n - 1] >= 0;
    }
};